7844. Треугольная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
с нижним основанием ABC
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
рассечена плоскостью, проходящей через точки E
, F
, C
, причём точка E
является серединой ребра AA_{1}
, точка F
лежит на ребре BB_{1}
и BF:FB_{1}=1:2
. Найдите объём части призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, заключённой между секущей плоскостью и нижним основанием этой призмы, если известно, что объём призмы равен V
.
Ответ. \frac{5}{18}V
.
Решение. Пусть боковые рёбра призмы равны 6a
, расстояние между боковыми рёбрами AA_{1}
и BB_{1}
равно h
, расстояние от вершины C
до плоскости грани AA_{1}B_{1}B
равно H
. Достроим треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
до параллелограммов ABDC
и A_{1}B_{1}D_{1}C_{1}
. Получим параллелепипед ABDCA_{1}B_{1}D_{1}C_{1}
с основанием AA_{1}B_{1}B
и боковыми рёбрами A_{1}C_{1}
, AC
, BD
и B_{1}D_{1}
. Пусть V_{1}
— его объём. Тогда
V_{1}=S_{AA_{1}B_{1}B}\cdot H=6ah\cdot H,
поэтому
V=\frac{1}{2}V_{1}=3ah\cdot H.
Пусть V_{2}
— искомый объём четырёхугольной пирамиды CABFE
с вершиной C
. Основание этой пирамиды — трапеция ABFE
. Тогда
V_{2}=\frac{1}{3}S_{ABFE}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}(2a+3a)h\cdot H=
=\frac{5}{6}ah\cdot H=\frac{5}{18}\cdot3ah\cdot H=\frac{5}{18}V.