7852. Через середину высоты правильной четырёхугольной пирамиды проведено сечение, перпендикулярное боковому ребру. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро равно 4, а угол между боковыми рёбрами, лежащими в одной грани, равен \frac{\pi}{3}
.
Ответ. 5\sqrt{2}
.
Решение. Пусть PABCD
— правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P
, M
— середина её высоты PO
, F
— основание перпендикуляра опущенного из точки M
на боковое ребро PC
, \angle BPC=60^{\circ}
. Тогда
BC=PB=PC=4,~AC=4\sqrt{2},~OC=2\sqrt{2},~OP=2\sqrt{2},
\angle OPC=45^{\circ},~PM=MO=\sqrt{2},~MF=MP\sin45^{\circ}=1.
Стороны треугольника APC
равны 4, 4 и 4\sqrt{2}
. Поэтому \angle APC=90^{\circ}
.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямые PA
и PC
. Пусть K
— точка пересечения прямых AC
и MF
. Так как \angle KMO=\angle PMF=45^{\circ}
, то OK=OM=\sqrt{2}
, поэтому K
— середина отрезка AO
.
Плоскость, проходящая через точку M
перпендикулярно боковому ребру PC
, проходит через точки F
и K
. Пусть эта плоскость пересекает стороны основания AB
и AD
соответственно в точках L
и N
, а боковые рёбра PB
и PD
— соответственно в точках Q
и T
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах NL\perp PC
, поэтому NL\parallel BD
. Значит, NL
— средняя линия треугольника ABD
. Отрезок KM
— средняя линия треугольника AOP
, поэтому KF\parallel AB
, а прямая AP
параллельна секущей плоскости. Плоскость грани APB
проходит через прямую AP
, параллельную секущей плоскости, и пересекает эту плоскость по прямой LQ
. Значит, QL\parallel AP
. Аналогично, NT\parallel AP
. Кроме того, QL=NT
как средние линии треугольников APB
и APD
с общим основанием PA
.
Так как LQ\parallel PA
и PA\perp NL
, то NLQT
— прямоугольник. Следовательно,
S_{NLQFT}=S_{NLQT}+S_{\triangle TQF}=
=NL\cdot LQ+\frac{1}{2}TQ\cdot MF=2\sqrt{2}\cdot2+\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot2=5\sqrt{2}.