7862. Найдите наибольшее значение объёма пирамиды SABC
при следующих ограничениях
SA\leqslant4,~SB\geqslant7,~SC\geqslant9,~AB=5,~BC\leqslant6,~AC\leqslant8.
Ответ. 8\sqrt{6}
.
Решение. Пусть CK
— высота треугольной пирамиды SABC
. Тогда CK\leqslant BC\leqslant6
. По теореме косинусов из треугольника SAB
находим, что
\cos\angle SAB=\frac{AS^{2}+AB^{2}-SB^{2}}{2AS\cdot AB}\leqslant\frac{16+25-49}{2AS\cdot5}=
\leqslant-\frac{8}{10AS}=\frac{-\frac{4}{5}}{AS}\leqslant-\frac{\frac{4}{5}}{4}=-\frac{1}{5}.
Поэтому \angle SAB\gt90^{\circ}
.
Если V
— объём пирамиды SABC
, то
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AS\cdot AB\sin\angle SAB\cdot CK\leqslant\frac{1}{6}\cdot4\cdot5\cdot6\cdot\sin\angle SAB=
=20\sin\angle SAB=20\sqrt{1-\cos^{2}\angle SAB}\leqslant20\sqrt{1-\frac{1}{25}}=8\sqrt{6}.
Пирамида SABC
, в которой AS=4
, AB=5
, \angle SAB=\arccos\left(-\frac{1}{5}\right)
, BC=6
и BC
— перпендикуляр к плоскости основания SAB
, удовлетворяет условию задачи, так как в этом случае
SB=7,~AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{25+36}\lt\sqrt{64}=8,
SC=\sqrt{SB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{49+36}\gt\sqrt{81}=9,
а объём такой пирамиды равен 8\sqrt{6}
.