7863. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Сфера касается рёбер AD
, DD_{1}
, CD
и прямой BC_{1}
. Найдите радиус сферы, если ребро куба равно 1.
Ответ. 2\sqrt{2}-\sqrt{5}
.
Указание. Центр сферы лежит на прямой DB_{1}
. Сфера касается прямой BC_{1}
в середине отрезка BC_{1}
.
Решение. Центр O
сферы равноудалён от боковых рёбер DA
, DD_{1}
и DC
правильной треугольной пирамиды DACD_{1}
с вершиной D
, поэтому точка O
лежит на прямой, содержащей высоту этой пирамиды, проходящую через вершину D
, т. е. на прямой DB_{1}
. Пусть K
— точка пересечения диагоналей квадрата BB_{1}C_{1}C
. Так как прямая BC_{1}
перпендикулярна плоскости A_{1}B_{1}CD
, то OK\perp BC_{1}
, значит, K
— точка касания сферы с прямой BC_{1}
из точки O
можно опустить единственный перпендикуляр на прямую BC_{1}
).
Опустим перпендикуляры OM
и ON
из центра сферы на прямые B_{1}C
и DC
соответственно. Пусть r
— радиус сферы. Тогда OK=ON=r
, а из подобия треугольников DNO
и DCB_{1}
находим, что
DN=DC\cdot\frac{ON}{B_{1}C}=r\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{r}{\sqrt{2}}.
Тогда
OM=CN=DC-DN=1-\frac{r}{\sqrt{2}},
KM=|CK-CM|=|CK-ON|=\left|\frac{\sqrt{2}}{2}-r\right|,
OM^{2}+KM^{2}=OK^{2},~~\left(1-\frac{r}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-r\right)^{2}=r^{2},
откуда r=\sqrt{8}\pm\sqrt{5}
, а так как DN=\frac{r}{\sqrt{2}}\lt1
, то условию задачи удовлетворяет только r=\sqrt{8}-\sqrt{5}
.