7875. В куб с ребром a
вписан шар. Найдите радиус другого шара, касающегося трёх граней куба и первого шара.
Ответ. \frac{a(2-\sqrt{3})}{2}
.
Решение. Рассмотрим куб с вершиной P
. Пусть его диагональ, проведённая из вершины P
, пересекает вписанный шар радиуса R=\frac{a}{2}
в точках A
и B
, причём AP\gt BP
. Тогда
PA=OA+OP=\frac{a\sqrt{3}}{2}+\frac{a}{2},~PB=OP-OB=\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{a}{2}.
При гомотетии с центром P
и коэффициентом \frac{PB}{PA}
точка A
перейдёт в точку B
, а шар, вписанный в куб, перейдёт в шар искомого радиуса r
, касающийся вписанного шара в точке B
и трёх граней куба с общей вершиной P
. Следовательно,
r=\frac{PB}{PA}\cdot R=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}+\frac{a}{2}}\cdot\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\cdot\frac{a}{2}=\frac{a(2-\sqrt{3})}{2}.