7887. Дана треугольная пирамида ABCD
. На ребре AC
взята точка F
, причём CF:FA=2:9
, на ребре CD
взята точка M
, причём AM
— биссектриса угла DAC
. Через точки F
, M
и точку пересечения медиан треугольника DAB
проведена плоскость, пересекающая ребро DB
в точке N
. Известно, что CA:AD=DN:NB+1
. Известно также, что отношение площади треугольника ADB
к сумме площадей всех граней пирамиды ABCD
равно p
, а перпендикуляр, опущенный из вершины C
на плоскость ABD
, равен h
. Через точку N
проведена плоскость, параллельная плоскости ACB
и пересекающая рёбра CD
и DA
в точках K
и L
соответственно. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду DKLN
.
Ответ. \frac{hp(15-\sqrt{193})}{8}
.
Решение. Пусть E
— середина ребра AB
, P
— точка пересечения медиан треугольника ABD
. Пусть прямые FM
и AD
пересекаются в точке T
, прямая TP
пересекает ребро AB
в точке Q
, а прямые MN
и BC
пересекаются в точке G
. Тогда прямая QF
проходит через точку G
, а четырёхугольник MNQF
— указанное в условии сечение. Обозначим \frac{DN}{NB}=k
. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{CM}{MD}=\frac{AC}{AD}=\frac{DN}{NB}+1=k+1.
По теореме Менелая из треугольников BDE
, BDC
и ABC
находим, что
\frac{DN}{NB}\cdot\frac{BQ}{QE}\cdot\frac{EP}{PD}=1,~\frac{AQ}{QB}\cdot\frac{BG}{GC}\cdot\frac{CF}{FA}=1,~\frac{DN}{NB}\cdot\frac{BG}{GC}\cdot\frac{CM}{MD}=1,
или
k\cdot\frac{BQ}{QE}\cdot\frac{1}{2}=1,~\frac{AQ}{QB}\cdot\frac{BG}{GC}\cdot\frac{2}{9}=1,~k\cdot\frac{BG}{GC}\cdot(k+1)=1.
Из второго и третьего равенства находим, что
\frac{AQ}{QB}=\frac{9k(k+1)}{2}.
Обозначим AQ=x
, EQ=y
. Так как E
— середина AB
, то
\frac{AQ}{QB}=\frac{x}{y+x+y}=\frac{x}{x+2y},~\frac{QE}{QB}=\frac{y}{y+x+y}=\frac{y}{x+2y}.
Поэтому
\frac{AQ}{QB}+2\cdot\frac{QE}{QB}=\frac{x}{x+2y}+\frac{2y}{x+2y}=1,
а так как k\cdot\frac{BQ}{QE}\cdot\frac{1}{2}=1
, то \frac{QE}{QB}=\frac{k}{2}
. Таким образом, имеем уравнение
\frac{9k(k+1)}{2}+k=1,~\mbox{или}~9k^{2}+11k-2=0,
откуда находим, что k=\frac{\sqrt{193}-11}{18}
.
Пусть s
— площадь грани ABD
, S
— сумма площадей всех граней пирамиды, V
— её объём, r
— радиус шара, вписанного в пирамиду DKLN
, S_{1}
— полная поверхность пирамиды DKLN
, V_{1}
— её объём. Тогда
V=\frac{1}{3}sh,~V_{1}=V\left(\frac{k}{k+1}\right)^{3}=\frac{1}{3}sh\left(\frac{k}{k+1}\right)^{3},~S_{1}=S\left(\frac{k}{k+1}\right)^{2},
r=3\cdot\frac{V_{1}}{S_{1}}=\left(\frac{k}{k+1}\right)^{3}\cdot\frac{sh}{S\left(\frac{k}{k+1}\right)^{2}}=
=\frac{k}{k+1}\cdot h\cdot\frac{s}{S}=\frac{k}{k+1}\cdot hp=\frac{hp(\sqrt{193}-11)}{\sqrt{193}+7}=\frac{hp(15-\sqrt{193})}{8}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1983, вариант 2, № 5
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 14