7890. Два конуса имеют высоты h_{1}
и h_{2}
и общее основание радиуса R
, а их вершины лежат по разные стороны от плоскости основания. В тело, ограниченное боковыми поверхностями этих конусов, вписан шар. Найти радиус другого шара, который касается как боковой поверхности первого конуса (причём по целой окружности), так и первого шара.
Ответ. \frac{R(h_{1}+h_{2})}{\sqrt{R^{2}+h_{1}^{2}}+\sqrt{R^{2}+h_{2}^{2}}}\cdot\frac{\sqrt{R^{2}+h_{1}^{2}}-R}{\sqrt{R^{2}+h_{1}^{2}}+R}
.
Решение. Пусть ABCD
— сечение конусов плоскостью, проходящей через их общую ось, x
— радиус сферы \Omega
, о которой говорится в условии задачи, а S
— её сечение плоскостью ABCD
.
Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения диагоналей, поэтому
S_{ABCD}=\frac{1}{2}BD\cdot AC=\frac{1}{2}(h_{1}+h_{2})\cdot2R=R(h_{1}+h_{2}).
С другой стороны, площадь этого четырёхугольника равна его полупериметру, умноженному на радиус x
вписанной окружности, т. е.
S_{ABCD}=(AB+AD)x=\left(\sqrt{R^{2}+h_{1}^{2}}+\sqrt{R^{2}+h_{2}^{2}}\right)x.
Из равенства
\left(\sqrt{R^{2}+h_{1}^{2}}+\sqrt{R^{2}+h_{2}^{2}}\right)x=R(h_{1}+h_{2})
находим, что
x=\frac{R(h_{1}+h_{2})}{\sqrt{R^{2}+h_{1}^{2}}+\sqrt{R^{2}+h_{2}^{2}}}.
Пусть O
— центр окружности S
, P
— точка её касания со стороной BC
. Обозначим \angle OBP=\alpha
. Тогда
\ctg\alpha=\frac{OB}{OC}=\frac{h_{1}}{R},~\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^{2}\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{h_{1}}{R}\right)^{2}}}=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+h_{1}^{2}}},
BO=\frac{OP}{\sin\alpha}=\frac{x}{\sin\alpha}=\frac{x\sqrt{R^{2}+h_{1}^{2}}}{R}.
Пусть диагональ BD
пересекает окружность S
в точках M
и N
, причём BM\gt BN
. При гомотетии с центром B
и коэффициентом \frac{BN}{BM}
сфера \Omega
перейдёт в искомую сферу радиуса r
. Следовательно,
r=x\cdot\frac{BN}{BM}=x\cdot\frac{BO-x}{BO+x}=x\cdot\frac{\frac{x\sqrt{R^{2}+h_{1}^{2}}}{R}-x}{\frac{x\sqrt{R^{2}+h_{1}^{2}}}{R}-x}=
=\frac{R(h_{1}+h_{2})}{\sqrt{R^{2}+h_{1}^{2}}+\sqrt{R^{2}+h_{2}^{2}}}\cdot\frac{\frac{\sqrt{R^{2}+h_{1}^{2}}}{R}-1}{\frac{\sqrt{R^{2}+h_{1}^{2}}}{R}-1}=\frac{R(h_{1}+h_{2})}{\sqrt{R^{2}+h_{1}^{2}}+\sqrt{R^{2}+h_{2}^{2}}}\cdot\frac{\sqrt{R^{2}+h_{1}^{2}}-R}{\sqrt{R^{2}+h_{1}^{2}}+R}.