7891. В двугранный угол, ребро которого совпадает с высотой прямого кругового конуса, вписан шар, касающийся изнутри боковой поверхности и основания конуса. Найти радиус этого шара, если двугранный угол равен \varphi
, образующая конуса равна c
, а угол между образующей и высотой равен \psi
.
Ответ. \frac{c\sin\psi\sin\frac{\varphi}{2}}{1+\sin\frac{\varphi}{2}\tg\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\psi}{2}\right)}
.
Решение. Пусть d
— расстояние от центра сферы радиуса x
, вписанной в двугранный угол величины \varphi
, до ребра двугранного угла (рис. 1). Тогда
d=\frac{x}{\sin\frac{\varphi}{2}}.
Пусть B
— вершина конуса, BC
— его высота, D
— точка касания сферы с центром O
радиуса x
, о которой говорится в условии задачи, с плоскостью основания конуса, E
— точка касания этой сферы с боковой поверхность конуса, BA
— образующая конуса, проходящая через точку E
.
Рассмотрим сечение ABC
сферы и конуса (рис. 2). Из прямоугольных треугольников ABC
и AOD
находим, что
AC=AB\sin\angle ABC=c\sin\psi,
AD=OD\ctg\angle OAD=OD\ctg\frac{\angle BAC}{2}=x\ctg\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\psi}{2}\right),
а так как
AC=AD+d=x\ctg\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\psi}{2}\right)+\frac{x}{\sin\frac{\varphi}{2}},
то
x\ctg\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\psi}{2}\right)+\frac{x}{\sin\frac{\varphi}{2}}=c\sin\psi.
Следовательно,
x=\frac{c\sin\psi\sin\frac{\varphi}{2}}{1+\sin\frac{\varphi}{2}\tg\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\psi}{2}\right)}.
Источник: Вступительный экзамен на филологический факультет МГУ. — 1966, вариант 3, № 4а
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — вариант 3, № 4а, с. 58