7901. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно высоте основания, а площадь сечения, проведённого через это боковое ребро и высоту основания, равна Q
. Найдите объём призмы.
Ответ. Q\sqrt{\frac{Q}{3}}
.
Решение. Пусть a
— сторона основания данной правильной призмы, h
— её высота, V
— объём. По условию задачи
h=\frac{a\sqrt{3}}{2},~Q=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot h=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{3a^{2}}{4},
откуда находим, что a=2\sqrt{\frac{Q}{3}}
. Следовательно,
V=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^{3}}{8}=\frac{3\left(2\sqrt{\frac{Q}{3}}\right)^{3}}{8}=Q\sqrt{\frac{Q}{3}}.