7904. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна a
. Найдите объём пирамиды, если известно, что её боковая поверхность в 10 раз больше площади основания.
Ответ. \frac{9a^{3}\sqrt{11}}{4}
.
Указание. Боковая поверхность правильной пирамиды равна площади основания, делённой на косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания.
Решение. Пусть SO
— высота данной правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF
, M
— середина AB
. Тогда SMO
— линейный угол двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды. Обозначим \angle SMO=\alpha
. Из условия задачи следует, что \cos\alpha=\frac{1}{10}
. Тогда
\tg\alpha=\sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\alpha}-1}=\sqrt{100-1}=\sqrt{99}=3\sqrt{11}.
Из прямоугольного треугольника SMO
находим, что
SO=OM\tg\angle SMO=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\tg\alpha=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot3\sqrt{11}=\frac{3a\sqrt{3}\cdot\sqrt{11}}{2}.
Следовательно,
V_{SABCDEF}=\frac{1}{3}S_{ABCDEF}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot\frac{6a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot3a\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{11}}{2}=\frac{9a^{3}\sqrt{11}}{4}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 11.106