7906. Найдите расстояние между серединами двух скрещивающихся рёбер куба, полная поверхность которого равна 36.
Ответ. 3.
Решение. Пусть M
и N
— середины скрещивающихся рёбер соответственно AB
и CC_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром a
, M_{1}
— ортогональная проекция точки M
на плоскость A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, K
— ортогональная проекция точки N
на прямую MM_{1}
. Тогда
MN^{2}=NK^{2}+MK^{2}=C_{1}M^{2}_{1}+MK^{2}=D_{1}C^{2}_{1}+D_{1}M^{2}_{1}+MK^{2}=
=a^{2}+\frac{a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}=\frac{3a^{2}}{2}.
Из условия задачи следует, что 6a^{2}=36
, откуда a^{2}=6
. Поэтому
MN^{2}=\frac{3a^{2}}{2}=3\cdot\frac{6}{2}=9.
Следовательно, MN=3
.