7908. В основании призмы лежит трапеция. Найдите объём призмы, если площади параллельных боковых граней равны S_{1}
и S_{2}
, а расстояние между ними равно h
.
Ответ. \frac{1}{2}(S_{1}+S_{2})h
.
Решение. Докажем сначала, что если площадь боковой грани AA_{1}C_{1}C
треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равна S
, а расстояние от противолежащего бокового ребра BB_{1}
до этой плоскости равно h
, то объём призмы равен \frac{1}{2}Sh
. Для этого достроим призму ABCA_{1}B_{1}C_{1}
(рис. 1) до параллелепипеда ABKCA_{1}B_{1}K_{1}C_{1}
, проведя через прямую BB_{1}
плоскость, параллельную грани ACC_{1}A_{1}
, а через прямую CC_{1}
— плоскость, параллельную грани ABB_{1}A_{1}
. Высота параллелепипеда, опущенная на основание ACC_{1}A_{1}
равна h
. Поэтому его объём равен Sh
. Объём призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равен половине объёма построенного параллелепипеда, т. е. \frac{1}{2}Sh
. Что и требовалось доказать.
Разобьём данную четырёхугольную призму на две треугольных плоскостью, проходящей через параллельные диагонали оснований (рис. 2). По ранее доказанному, объёмы этих треугольных призм равны \frac{1}{2}S_{1}h
и \frac{1}{2}S_{2}h
. Следовательно, объём исходной призмы равен \frac{1}{2}(S_{1}+S_{2})h
.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 11.115