7909. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4, площади боковых граней равны 9, 10 и 17. Найдите объём призмы.
Ответ. 12.
Решение. Пусть V
— объём призмы; h
— её высота; a
, b
и c
— стороны основания призмы; p
— полупериметр основания, S
— площадь основания. По условию задачи
ah=9,~bh=10,~ch=17,
откуда
a=\frac{9}{h},~b=\frac{10}{h},~c=\frac{17}{h}.
Тогда
p=\frac{1}{2}\left(\frac{9}{h}+\frac{10}{h}+\frac{17}{h}\right)=\frac{18}{h},~S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{\frac{18}{h}\cdot\frac{9}{h}\cdot\frac{8}{h}\cdot\frac{1}{h}}=\frac{36}{h^{2}}=4,
откуда находим, что h=3
. Следовательно,
V=Sh=4\cdot3=12.