7910. Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция ABCD
, в которой AB=CD=13
, BC=11
, AD=21
. Площадь диагонального сечения призмы равна 180. Найдите площадь полной поверхности призмы.
Ответ. 906.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— данная призма, S
— площадь её полной поверхности. Диагональное сечение призмы — прямоугольник ACC_{1}A_{1}
. Опустим перпендикуляр CK
из вершины C
меньшего основания трапеции на большее основание AD
. Тогда
DK=\frac{1}{2}(AD-BC)=\frac{1}{2}(21-11)=5,
AK=\frac{1}{2}(AD+BC)=\frac{1}{2}(21+11)=16.
По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников CKD
и AKC
находим, что
CK=\sqrt{CD^{2}-DK^{2}}=\sqrt{169-25}=12,
AC=\sqrt{AK^{2}+CK^{2}}=\sqrt{256+144}=20.
По условию задачи S_{ACC_{1}A_{1}}=AC\cdot AA_{1}=180
. Откуда
AA_{1}=\frac{180}{AC}=\frac{180}{20}=9.
Следовательно,
S=2S_{ABCD}+S_{ABB_{1}A_{1}}+S_{BCC_{1}B_{1}}+S_{CDD_{1}C_{1}}+S_{ADD_{1}A_{1}}=
=2\cdot\frac{1}{2}(AD+BC)CK+(AB+BC+CD+AD)AA_{1}=
=2\cdot16\cdot12+58\cdot9=906.