7912. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a
, а высота, опущенная из вершины основания на противоположную ей боковую грань, равна b
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{a^{3}b}{12\sqrt{3a^{2}-4b^{2}}}
.
Решение. Опустим перпендикуляр AK
из вершины A
основания правильной треугольной пирамиды ABCD
на апофему DN
, расположенную в боковой грани BCD
. Так как прямая BC
перпендикулярна плоскости ADN
, то прямая AK
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC
и DN
плоскости грани BDC
. Значит, прямая AK
перпендикулярна плоскости грани BCD
. По условию задачи AK=b
.
Пусть M
— центр основания ABC
. Тогда DM
— высота пирамиды. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью ADN
. Обозначим \angle AND=\alpha
. Тогда
\sin\alpha=\frac{AK}{AN}=\frac{b}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2b}{a\sqrt{3}},
\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{4b^{2}}{3a^{2}}}=\frac{\sqrt{3a^{2}-4b^{2}}}{a\sqrt{3}},~\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{2b}{\sqrt{3a^{2}-4b^{2}}},
DM=MN\tg\alpha=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\frac{2b}{\sqrt{3a^{2}-4b^{2}}}=\frac{ab\sqrt{3}}{3\sqrt{3a^{2}-4b^{2}}}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot DM=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{ab\sqrt{3}}{3\sqrt{3a^{2}-4b^{2}}}=\frac{a^{3}b}{12\sqrt{3a^{2}-4b^{2}}}.