7913. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
служит ромб ABCD
со стороной a
и острым углом 60^{\circ}
. Ребро AA_{1}
также равно a
и образует с рёбрами AB
и AD
углы 45^{\circ}
. Найдите объём параллелепипеда.
Ответ. \frac{a^{3}}{2}
.
Решение. Поскольку сумма двух плоских углов трёхгранного угла больше третьего, угол BAD
не может быть больше 90^{\circ}
. Поэтому \angle BAD=60^{\circ}
. Опустим перпендикуляр A_{1}H
из вершины A_{1}
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
на плоскость основания ABCD
. Затем из точки H
опустим перпендикуляры HP
и HQ
на прямые AB
и AD
соответственно. По теореме о трёх перпендикулярах A_{1}P\perp AB
и A_{1}Q\perp AD
. Из прямоугольных треугольников A_{1}AP
и A_{1}AQ
находим, что
A_{1}P=A_{1}Q=\frac{a}{\sqrt{2}},~AP=AQ=\frac{a}{\sqrt{2}}.
Так как HP=HQ
(как ортогональные проекции равных наклонных A_{1}P
и A_{1}Q
), то AH
— биссектриса угла BAD
. Поэтому
HP=AP\tg30^{\circ}=\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{6}}.
Из прямоугольного треугольника A_{1}HP
по теореме Пифагора находим, что
A_{1}H=\sqrt{A_{1}P^{2}-HP^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{6}}=\frac{a}{\sqrt{3}}.
Следовательно,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{ABCD}\cdot A_{1}H=a\cdot a\cdot\sin60^{\circ}\cdot\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a^{3}}{2}.