7917. Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны a
, b
и c
. Найдите площадь его полной поверхности.
Ответ. \sqrt{a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}}+\sqrt{b^{4}-(c^{2}-a^{2})^{2}}+\sqrt{c^{4}-(a^{2}-b^{2})^{2}}
.
Решение. Обозначим через x
, y
и z
рёбра параллелепипеда, исходящие из одной вершины. Пусть S
— площадь полной поверхности параллелепипеда. Тогда
\syst{x^{2}+y^{2}=a^{2}\\y^{2}+z^{2}=b^{2}\\x^{2}+z^{2}=c^{2}.\\}
Сложим почленно первое и третье равенство и вычтем из результата второе. Получим 2x^{2}=a^{2}+c^{2}-b^{2}
. Аналогично,
2y^{2}=a^{2}+b^{2}-c^{2}.
Поэтому
4x^{2}y^{2}=(a^{2}+c^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})=a^{4}-(c^{2}-b^{2})^{2}.
Аналогично,
4y^{2}z^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})=b^{4}-(c^{2}-a^{2})^{2},
4x^{2}z^{2}=(a^{2}+c^{2}-b^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})=c^{4}-(a^{2}-b^{2})^{2}.
Следовательно,
S=2xy+2yz+2xz=
=\sqrt{a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}}+\sqrt{b^{4}-(c^{2}-a^{2})^{2}}+\sqrt{c^{4}-(a^{2}-b^{2})^{2}}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 11.165