7919. Правильная треугольная пирамида пересечена плоскостью, проходящей через вершину основания и середины двух боковых рёбер. Найдите отношение боковой поверхности пирамиды к площади основания, если известно, что секущая плоскость перпендикулярна одной из боковых граней (укажите, какой именно).
Ответ. \sqrt{6}
.
Решение. Пусть ABCD
— правильная треугольная пирамида с вершиной D
; M
и N
— середины боковых рёбер BD
и CD
. Предположим, что плоскость AMN
перпендикулярна плоскости боковой грани ABD
. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью \alpha
, проходящей через ребро AD
и середину K
ребра BC
. Прямая BC
перпендикулярна плоскости \alpha
, а прямая MN
параллельна BC
как средняя линия треугольника BDC
. Значит, плоскость AMN
содержит прямую, перпендикулярную плоскости \alpha
. Следовательно, плоскость \alpha
перпендикулярна плоскости AMN
, а так как плоскости \alpha
и ABD
пересекаются по прямой AD
и обе эти плоскости перпендикулярны плоскости AMN
, то прямая AD
перпендикулярна плоскости AMN
, что невозможно. Аналогично, плоскость AMN
не может быть перпендикулярной плоскости ADC
.
Таким образом плоскость AMN
перпендикулярна плоскости грани BDC
. Пусть прямые MN
и DK
пересекаются в точке P
. Тогда P
— середина DK
. Кроме того, AP\perp DK
. Значит, треугольник ADK
— равнобедренный, AD=AK
. Обозначим \angle AKD=\varphi
. Если Q
— центр основания ABC
и KQ=x
, то
AQ=2x,AD=AK=3x,
DQ=\sqrt{AD^{2}-AQ^{2}}=\sqrt{9x^{2}-4x^{2}}=x\sqrt{5},
\tg\varphi=\frac{DQ}{KQ}=\frac{x\sqrt{5}}{x}=\sqrt{5},~\cos\varphi=\sqrt{\frac{1}{1+\tg^{2}\varphi}}=\frac{1}{\sqrt{6}}.
Пусть S_{1}
— площадь боковой поверхности данной пирамиды, S
— площадь её основания. Тогда
\frac{S_{1}}{S}=\frac{1}{\cos\varphi}=\sqrt{6}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 11.121