7920. Рёбра параллелепипеда равны a
, b
и c
. Рёбра, равные a
и b
, взаимно перпендикулярны, а ребро, равное c
, образует с каждым из них угол 60^{\circ}
. Найдите объём параллелепипеда.
Ответ. \frac{abc\sqrt{2}}{2}
.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— данный параллелепипед, в котором
AB=a,~AD=b,~AA_{1}=c,
\angle BAD=90^{\circ},~\angle A_{1}AB=\angle A_{1}AD=60^{\circ}.
Из основания H
высоты A_{1}H
параллелепипеда опустим перпендикуляры HP
и HQ
на прямые AB
и AD
соответственно. По теореме о трёх перпендикулярах A_{1}P\perp AB
и A_{1}Q\perp AD
. Из равенства прямоугольных треугольников A_{1}AP
и A_{1}AQ
следует, что A_{1}P=A_{1}Q
. Поэтому HP=HQ
. Значит, AH
— биссектриса угла BAD
.
Обозначим \angle A_{1}AH=\alpha
. Тогда
AH=AA_{1}\cos\alpha=c\cos\alpha,~A_{1}H=AA_{1}\sin\alpha=c\sin\alpha,
AP=AA_{1}\cos\angle A_{1}AP=AA_{1}\cos\angle60^{\circ}=\frac{c}{2},
AP=AH\cos\angle PAH=c\cos\alpha\cos45^{\circ}=\frac{c\cos\alpha}{\sqrt{2}}.
Из уравнения \frac{c\cos\alpha}{\sqrt{2}}=\frac{c}{2}
находим, что \cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}
, откуда \alpha=45^{\circ}
. Значит,
A_{1}H=c\sin\alpha=\frac{c\sqrt{2}}{2}.
Следовательно,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{ABCD}\cdot A_{1}H=\frac{abc\sqrt{2}}{2}.