7921. Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм с углом 120^{\circ}
и сторонами 3 и 4. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания. Найдите объём параллелепипеда.
Ответ. 36\sqrt{2}
.
Решение. Пусть d_{1}
и d_{2}
— соответственно большая и меньшая диагонали параллелограмма со сторонами 3 и 4 и углом 120^{\circ}
между ними. Тогда
d_{1}=\sqrt{9+16-2\cdot3\cdot4\cos120^{\circ}}=\sqrt{25+12}=\sqrt{37},
d_{2}=\sqrt{9+16-2\cdot3\cdot4\cos60^{\circ}}=\sqrt{25-12}=\sqrt{13}.
Пусть h
— высота параллелепипеда, V
— его объём. По условию задачи меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали параллелограмма, т. е. \sqrt{37}
, а так как меньшая диагональ параллелограмма является ортогональной проекцией меньшей диагонали параллелепипеда на плоскость основания, то
h=\sqrt{37-13}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}.
Следовательно,
V=3\cdot4\sin120^{\circ}\cdot2\sqrt{6}=6\sqrt{3}\cdot2\sqrt{6}=36\sqrt{2}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 11.167