7923. Из середины высоты правильной треугольной пирамиды опущены перпендикуляры на боковое ребро и на боковую грань. Эти перпендикуляры равны соответственно a
и b
. Найдите объём пирамиды. При всяких ли a
и b
задача имеет решение?
Ответ. \frac{18a^{3}b^{3}}{(a^{2}-b^{2})\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}
.
Решение. Опустим перпендикуляры HP
и HQ
из основания H
высоты DH
правильной треугольной пирамиды ABCD
соответственно на боковое ребро CD
и боковую грань ABD
. Тогда HP=2a
, HQ=2b
. Пусть \alpha
и \beta
— углы соответственно бокового ребра и плоскости боковой грани с плоскостью основания ABC
, x
— сторона основания пирамиды, M
— середина AB
. Из прямоугольных треугольников HPC
и HQM
находим, что
CH=\frac{HP}{\sin\angle DCH},~MH=\frac{HQ}{\sin\angle DMH},
или
\frac{x\sqrt{3}}{3}=\frac{2a}{\sin\alpha},~\frac{x\sqrt{3}}{6}=\frac{2b}{\sin\beta},
откуда
\sin\beta=\frac{2b}{a}\sin\alpha,~\sin^{2}\beta=\frac{4b^{2}}{a^{2}}\sin^{2}\alpha,~\frac{1}{\sin^{2}\alpha}=\frac{\frac{4b^{2}}{a^{2}}}{\sin^{2}\beta},~x=\frac{4b\sqrt{3}}{\sin\beta}.
Из прямоугольных треугольников DHC
и DHM
находим, что
DH=CH\tg\alpha,~DH=MH\tg\beta,
откуда
\tg\beta=\frac{CH}{MH}\tg\alpha=2\tg\alpha,~\ctg\alpha=2\ctg\beta,~\ctg^{2}\alpha=4\ctg^{2}\beta,
\frac{1}{\sin^{2}\alpha}-1=4\left(\frac{1}{\sin^{2}\beta}-1\right),~\frac{\frac{4b^{2}}{a^{2}}}{\sin^{2}\beta}-1=4\left(\frac{1}{\sin^{2}\beta}-1\right),
\frac{4b^{2}}{a^{2}}-\sin^{2}\beta=4(1-\sin^{2}\beta),~3\sin^{2}\beta=4\left(1-\frac{b^{2}}{a^{2}}\right)=\frac{4(a^{2}-b^{2})}{a^{2}},
Откуда
\sin\beta=\frac{2\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a\sqrt{3}},~\sin\alpha=\frac{a}{2b}\cdot\sin\beta=\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{b\sqrt{3}},
\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{a^{2}-b^{2}}{3b^{2}}}=\frac{\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}{b\sqrt{3}}.
DH=\frac{HP}{\cos\angle DHP}=\frac{2a}{\cos\alpha}=\frac{2ab\sqrt{3}}{\sqrt{4b^{2}-a^{2}}},~x=\frac{4b\sqrt{3}}{\sin\beta}=\frac{6ab}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DH=\frac{1}{3}\cdot\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{2ab\sqrt{3}}{\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}=
=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{6ab}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}\right)^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{2ab\sqrt{3}}{\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}=\frac{18a^{3}b^{3}}{(a^{2}-b^{2})\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}.
Задача имеет решение, если \frac{a}{2}\lt b\lt a
.