7925. Высота прямоугольного треугольника ABC
, опущенная на гипотенузу, равна 9{,}6
. Из вершины C
прямого угла восставлен к плоскости треугольника ABC
перпендикуляр CM
, причём CM=28
. Найдите расстояние от точки M
до гипотенузы AB
.
Ответ. 29{,}6
.
Указание. Примените теорему о трёх перпендикулярах.
Решение. Пусть CK
— высота данного прямоугольного треугольника. Тогда MK
— наклонная к плоскости треугольника ABC
, а CK
— ортогональная проекция этой наклонной на плоскость треугольника ABC
. Поскольку CK\perp AB
, по теореме о трёх перпендикулярах MK\perp AB
. Значит, длина отрезка MK
равна расстоянию от точки M
до прямой AB
. Из прямоугольного треугольника MCK
по теореме Пифагора находим, что
MK=\sqrt{CK^{2}+CM^{2}}=\sqrt{9{,}6^{2}+28^{2}}=\sqrt{\left(\frac{48}{5}\right)^{2}+28^{2}}=
=4\sqrt{\left(\frac{12}{5}\right)^{2}+7^{2}}=\frac{4}{5}\sqrt{144+49\cdot25}=\frac{4}{5}\sqrt{1369}=\frac{4}{5}\cdot37=\frac{148}{5}=29{,}6.