7926. Через каждую вершину единичного куба проведены плоскости, перпендикулярные одной и той же диагонали куба. На какие части делится диагональ этими плоскостями?
Ответ. На три равные части, каждая из которых равна \frac{\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Рассмотрим плоскость, проходящую через вершины B_{1}
, A
и C
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Ортогональная проекция BD
диагонали BD_{1}
куба на плоскость основания ABCD
перпендикулярна прямой AC
, поэтому BD_{1}\perp AC
. Аналогично, BD_{1}\perp AB_{1}
. Значит, диагональ BD_{1}
перпендикулярна плоскости треугольника AB_{1}C
. Кроме того, известно, что диагональ BD_{1}
делится плоскостью треугольника AB_{1}C
в отношении 1:2
, считая от точки B
(это верно для любого параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
).
Поскольку через данную точку проходит ровно одна плоскость, перпендикулярная данной прямой, плоскость треугольника AB_{1}C
и есть одна из плоскостей, о которых говорится в условии задачи (она проходит через вершины A
, B_{1}
, C
и перпендикулярна диагонали BD_{1}
куба).
Аналогично докажем, что плоскость треугольника A_{1}C_{1}D
также перпендикулярна диагонали BD_{1}
и делит её в отношении 1:2
, считая от вершины D_{1}
. Следовательно, плоскости, о которых говорится в условии задачи, делят диагональ BD_{1}
куба на три равные части.
Поскольку единичного диагональ куба равна \sqrt{3}
, каждая из этих частей равна \frac{\sqrt{3}}{3}
.