7928. Основания параллелепипеда — квадраты со стороной b
, а все боковые грани — ромбы. Одна из вершин верхнего основания одинаково удалена от всех вершин нижнего основания. Найдите объём параллелепипеда.
Ответ. \frac{b^{3}}{\sqrt{2}}
.
Решение. Пусть вершина B_{1}
верхнего основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равноудалена от всех вершин нижнего основания ABCD
. Тогда ортогональная проекция вершины B_{1}
на нижнее основание есть центр O
квадрата ABCD
, а четырёхугольная пирамида ABCDB_{1}
с вершиной B_{1}
— правильная.
Из прямоугольного треугольника OBB_{1}
находим, что
B_{1}O=\sqrt{BB_{1}^{2}-OB^{2}}=\sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}}{2}}=\frac{b}{\sqrt{2}},
а так как B_{1}O
— высота параллелепипеда, то
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{ABCD}\cdot B_{1}O=b^{2}\cdot\frac{b}{\sqrt{2}}=\frac{b^{3}}{\sqrt{2}}.
Источник: Вступительный экзамен в МГТУ им. Н. Э. Баумана. — 1979
Источник: Говоров В. М. и др. Сборник конкурсных задач по математике. — М.: Наука, 1986. — № 11, с. 201