7929. В параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
грань ABCD
— квадрат со стороной 5, ребро AA_{1}
также равно 5, и это ребро образует с рёбрами AB
и AD
углы 60^{\circ}
. Найдите диагональ BD_{1}
.
Ответ. 5\sqrt{3}
.
Решение. Первый способ. Треугольник AA_{1}B
— равносторонний, так как AA_{1}=AB
и \angle BAA_{1}=60^{\circ}
. Поэтому A_{1}B=AA_{1}=5
. Аналогично, A_{1}D=5
. Боковые рёбра A_{1}A
, A_{1}B
и A_{1}D
треугольной пирамиды A_{1}ABD
с вершиной A_{1}
равны между собой, значит, высота A_{1}O
этой пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания ABD
, а так как треугольник ABD
прямоугольный, то точка O
— середина его гипотенузы BD
, т. е. центр квадрата ABCD
.
Из прямоугольного треугольника OBA_{1}
находим, что
A_{1}O=\sqrt{A_{1}B^{2}-BO^{2}}=\sqrt{5^{2}-\left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^{2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}.
Поскольку D_{1}C=A_{1}B=A_{1}A=D_{1}D
, точка D_{1}
равноудалена от вершин C
и D
, поэтому её ортогональная проекция K
на плоскость основания ABCD
также равноудалена от C
и D
, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD
. Поскольку D_{1}K\parallel A_{1}O
и D_{1}K=A_{1}O
, четырёхугольник A_{1}D_{1}KO
— прямоугольник, поэтому OK=A_{1}D_{1}=5
.
Продолжим отрезок KO
до пересечения со отрезком AB
в точке M
. Тогда M
— середина AB
и MK=MO+OK=\frac{15}{2}
. Из прямоугольных треугольников MKB
и KBD_{1}
находим, что
BK=\sqrt{BM^{2}+MK^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{225}{4}}=\sqrt{\frac{250}{4}},
BD_{1}=\sqrt{KD_{1}^{2}+BK^{2}}=\sqrt{\frac{50}{4}+\frac{250}{4}}=\sqrt{\frac{300}{4}}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}.
Второй способ.
\overrightarrow{BD_{1}}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}D_{1}}~\Rightarrow~BD_{1}^{2}=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}D_{1}})^{2}=
=\overrightarrow{BA}^{2}+\overrightarrow{AA_{1}}^{2}+\overrightarrow{A_{1}D_{1}}^{2}+2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AA_{1}}+2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{A_{1}D_{1}}+2\overrightarrow{AA_{1}}\cdot\overrightarrow{A_{1}D_{1}}=
=25+25+25+2\cdot25\cos120^{\circ}+2\cdot25\cos90^{\circ}+2\cdot25\cos60^{\circ}=75~\Rightarrow
\Rightarrow~BD_{1}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен в МИНХ. — 1979
Источник: Говоров В. М. и др. Сборник конкурсных задач по математике. — М.: Наука, 1986. — № 12, с. 201