7930. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна l
и образует с плоскостью основания угол \alpha
. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площадь его основания равна S
.
Ответ. 2l\sin\alpha\sqrt{l^{2}\cos^{2}\alpha+2S}
.
Решение. Пусть диагональ BD_{1}
прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равна l
и образует угол \alpha
с плоскостью основания ABCD
, т. е. \angle DBD_{1}=\alpha
. Из прямоугольного треугольника DBD_{1}
находим, что
DD_{1}=BD_{1}\sin\angle DBD_{1}=l\sin\alpha,~BD=BD_{1}\cos\angle DBD_{1}=l\cos\alpha.
Тогда
\syst{AB^{2}+BC^{2}=l^{2}\cos^{2}\alpha\\AB\cdot BC=S\\}
Следовательно,
S_{\mbox{бок.}}=2(AB+BC)\cdot DD_{1}=2\sqrt{(AB+BC)^{2}}\cdot DD_{1}=
=2\sqrt{AB^{2}+BC^{2}+2AB\cdot BC}\cdot DD_{1}=2\sqrt{l^{2}\cos^{2}\alpha+2S}\cdot l\sin\alpha=
=2l\sin\alpha\sqrt{l^{2}\cos^{2}\alpha+2S}.
Источник: Вступительный экзамен в МЭИ. — 1979
Источник: Говоров В. М. и др. Сборник конкурсных задач по математике. — М.: Наука, 1986. — № 13, с. 201