7931. Основанием прямой призмы служит ромб с острым углом \alpha
. Найдите объём призмы, если её большая диагональ равна l
и образует с плоскостью основания угол \beta
.
Ответ. \frac{1}{2}l^{3}\sin\beta\cos^{2}\beta\tg\frac{\alpha}{2}
.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— данный прямоугольный параллелепипед, основание которого — ромб ABCD
с острым углом \alpha
при вершине A
. Тогда AC
— большая диагональ ромба. Так как AC
— ортогональная проекция диагонали A_{1}C
параллелепипеда на плоскость основания ABCD
, то A_{1}C
— большая диагональ параллелепипеда. По условию задачи A_{1}C=l
, \angle ACA_{1}=\beta
.
Из прямоугольного треугольника ACA_{1}
находим, что
AA_{1}=A_{1}C\sin\angle ACA_{1}=l\sin\beta,
AC=A_{1}C\cos\angle ACA_{1}=l\cos\beta.
Пусть O
— центр ромба. Тогда
OB=OA\tg\angle OAB=\frac{1}{2}AC\tg\frac{1}{2}\angle BAD=\frac{1}{2}l\cos\beta\tg\frac{\alpha}{2},
BD=2OB=l\cos\beta\tg\frac{\alpha}{2},
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}l\cos\beta\cdot l\cos\beta\tg\frac{\alpha}{2}.
Следовательно,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{ABCD}\cdot AA_{1}=
=\frac{1}{2}l^{2}\cos^{2}\beta\cdot\tg\frac{\alpha}{2}\cdot l\sin\beta=\frac{1}{2}l^{3}\sin\beta\cos^{2}\beta\tg\frac{\alpha}{2}.