7932. В основании прямой призмы лежит равносторонний треугольник. Плоскость, проходящая через одну из сторон нижнего основания и противоположную вершину верхнего, наклонена к плоскости нижнего основания под углом \varphi
. Площадь этого сечения равна Q
. Найдите объём призмы.
Ответ. Q\sqrt{Q\sqrt{3}\cos\varphi}\sin\varphi
.
Решение. Пусть M
середина стороны AB
основания ABC
правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Тогда CM\perp AB
и C_{1}M\perp AB
, поэтому CMC_{1}
— линейный угол двугранного угла между плоскостью основания ABC
и секущей плоскостью ABC_{1}
. По условию задачи \angle CMC_{1}=\varphi
.
Обозначим через a
сторону равностороннего треугольника ABC
. Тогда CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}
. Из прямоугольного треугольника CMC_{1}
находим, что
CC_{1}=CM\tg\angle CMC_{1}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\tg\varphi,~C_{1}M=\frac{CM}{\cos\angle CMC_{1}}=\frac{a\sqrt{3}}{2\cos\varphi}.
Из уравнения \frac{1}{2}a\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2\cos\varphi}=Q
находим, что a=2\sqrt{\frac{Q\cos\varphi}{\sqrt{3}}}
. Следовательно,
V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=S_{\triangle ABC}\cdot CC_{1}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\tg\varphi=
=\frac{3}{8}a^{3}\tg\varphi=\frac{1}{8}\cdot\frac{3\cdot8Q\cos\varphi}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{\frac{Q\cos\varphi}{\sqrt{3}}}\cdot\tg\varphi=Q\sqrt{Q\sqrt{3}\cos\varphi}\sin\varphi.