7933. Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция с острым углом \alpha
. Боковая сторона трапеции и её меньшее основание равны. Найдите объём призмы, если диагональ призмы равна a
и образует с плоскостью основания угол \beta
.
Ответ. \frac{1}{2}a^{3}\sin\alpha\sin\beta\cos^{2}\beta
.
Решение. Пусть ABCD
— основание данной призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, причём AD
и BC
— основания трапеции ABCD
,
AB=BC=CD,~\angle BAD=\angle CDA=\alpha,~\angle ACA_{1}=\beta.
Поскольку AB=BC
, треугольник ABC
— равнобедренный, поэтому
\angle CAD=\angle ACB=\angle BAC=\frac{\alpha}{2}.
Из прямоугольного треугольника ACA_{1}
находим, что
AA_{1}=A_{1}C\sin\angle ACA_{1}=a\sin\beta,~AC=A_{1}C\cos\angle ACA_{1}=a\cos\beta.
Пусть CK
— высота трапеции ABCD
. Тогда
DK=\frac{1}{2}(AD-BC),~AK=AD-DK=AD-\frac{1}{2}(AD-BC)=\frac{1}{2}(AD+BC),
CK=AC\sin\angle CAK=a\cos\beta\sin\frac{\alpha}{2},
AK=AC\cos\angle CAK=a\cos\beta\cos\frac{\alpha}{2}.
Поэтому
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot CK=AK\cdot CK=a\cos\beta\sin\frac{\alpha}{2}\cdot a\cos\beta\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}a^{2}\cos^{2}\beta\sin\alpha.
Следовательно,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{ABCD}\cdot AA_{1}=\frac{1}{2}a^{2}\cos^{2}\beta\sin\alpha\cdot a\sin\beta=
=\frac{1}{2}a^{3}\sin\alpha\sin\beta\cos^{2}\beta.