7935. Каждое ребро наклонной треугольной призмы равно 2. Одно из боковых рёбер образует со смежными сторонами основания углы 60^{\circ}
. Найдите объём и площадь полной поверхности призмы.
Ответ. 2\sqrt{2}
; 4+6\sqrt{3}
.
Решение. Пусть боковое ребро AA_{1}
данной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
образует со сторонами AB
и AC
основания ABC
углы 60^{\circ}
. Так как все рёбра призмы равны, то грани AA_{1}B_{1}B
и AA_{1}C_{1}C
— ромбы со стороной 2 и острым углом 60^{\circ}
. Значит, A_{1}B=A_{1}A=A_{1}C=2
. Все рёбра треугольной пирамиды A_{1}ABC
равны, поэтому A_{1}ABC
— правильный тетраэдр с ребром 2. Его высота A_{1}O
равна 2\sqrt{\frac{2}{3}}
. В то же время, A_{1}O
— высота данной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Следовательно,
V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=S_{\triangle ABC}\cdot A_{1}O=\frac{2^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot2\sqrt{\frac{2}{3}}=2\sqrt{2}.
Поскольку A_{1}B=A_{1}C
, то точка O
равноудалена от концов отрезка BC
. Значит, AO\perp BC
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах A_{1}A\perp BC
, а так как B_{1}B\parallel A_{1}A
, то грань BB_{1}C_{1}C
— прямоугольник, все стороны которого равны, т. е. квадрат. Пусть S
— площадь полной поверхности призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Тогда
S=2S_{\triangle ABC}+2S_{AA_{1}B_{1}B}+S_{BB_{1}C_{1}C}=2\sqrt{3}+4\sqrt{3}+4=4+6\sqrt{3}.