7936. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с углом \varphi
при вершине. Все боковые рёбра пирамиды равны a
. Найдите объём пирамиды, если радиус окружности, вписанной в треугольник основания, равен r
.
Ответ. \frac{r^{2}\ctg^{2}\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{4}\right)\sqrt{a^{2}\cdot\sin^{2}\varphi-r^{2}\ctg^{2}\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{4}\right)}}{6\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник ABC
с углом \varphi
при вершине A
(рис. 2). Точка O
лежит на биссектрисе AM
треугольника ABC
, а так как треугольник ABC
равнобедренный, то AM
— его высота и медиана. Тогда
BM=OM\ctg\angle OBM=r\ctg\frac{(90^{\circ}-\frac{\varphi}{2})}{2}=r\ctg\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{4}\right),
AC=AB=\frac{BM}{\sin\angle BAM}=\frac{r\ctg\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{4}\right)}{\sin\frac{\varphi}{2}}.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
. Тогда
R=\frac{AC}{2\sin\angle ABM}=\frac{AC}{2\sin\left(90^{\circ}-\frac{\varphi}{2}\right)}=\frac{r\ctg\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{4}\right)}{2\cos\frac{\varphi}{2}\sin\frac{\varphi}{2}}=\frac{r\ctg\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{4}\right)}{\sin\varphi}.
Так как боковые рёбра данной пирамиды ABCD
равны, то её высота DQ
проходит через центр Q
окружности, описанной около треугольника ABC
. Из прямоугольного треугольника AQD
находим, что
DQ=\sqrt{AD^{2}-AQ^{2}}=\sqrt{a^{2}-R^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{r^{2}\ctg^{2}\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{4}\right)}{\sin^{2}\varphi}}=
=\frac{\sqrt{a^{2}\sin^{2}\varphi-r^{2}\ctg^{2}\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{4}\right)}}{\sin\varphi}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DQ=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AB^{2}\cdot\sin\varphi\cdot DQ=
=\frac{1}{6}\cdot\frac{\left(r\ctg\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{4}\right)\right)^{2}\sin\varphi}{\left(\sin\frac{\varphi}{2}\right)^{2}}\cdot\frac{\sqrt{a^{2}\sin^{2}\varphi-r^{2}\ctg^{2}\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{4}\right)}}{\sin\varphi}=
=\frac{r^{2}\ctg^{2}\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{4}\right)\sqrt{a^{2}\cdot\sin^{2}\varphi-r^{2}\ctg^{2}\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{4}\right)}}{6\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}.