7937. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с углом \alpha
при вершине. Все двугранные углы при основании пирамиды равны \beta
. Найдите объём пирамиды, если радиус окружности, описанной около треугольника основания, равен R
, а высота пирамиды проходит через точку, лежащую внутри треугольника.
Ответ. \frac{2}{3}R^{3}\tg\beta\sin^{2}\alpha\cos^{3}\frac{\alpha}{2}\tg\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)=\frac{2R^{3}\tg\beta\sin^{2}\alpha\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{3\left(1+\sin\frac{\alpha}{2}\right)}
.
Решение. Пусть R
— радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника ABC
с углом \alpha
при вершине A
(рис. 2). Тогда
BC=2R\sin\angle BAC=2R\sin\alpha,
AB=AC=2R\sin\angle ABC=2R\sin\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=2R\cos\frac{\alpha}{2}.
Пусть O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
, r
— радиус этой окружности. Точка O
лежит на биссектрисе AM
, а так как треугольник ABC
равнобедренный, его биссектриса AM
является медианой и высотой, поэтому
r=OM=BM\tg\angle OBM=\frac{1}{2}BC\cdot\tg\frac{90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}}{2}=
=\frac{1}{2}\cdot2R\sin\alpha\tg\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)=R\sin\alpha\tg\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right).
Так как боковые грани данной пирамиды ABCD
образуют равные двугранные углы с плоскостью основания, а высота проходит через точку, лежащую внутри треугольника ABC
, то эта точка — центр O
окружности, вписанной в треугольник ABC
. Таким образом, DO
— высота пирамиды ABCD
. Так как точка O
лежит на высоте AM
равнобедренного треугольника ABC
, то по теореме о трёх перпендикулярах DM\perp BC
, поэтому DMO
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC
и BDC
. По условию задачи \angle DMO=\beta
. Из прямоугольного треугольника MOD
находим, что
DO=OM\tg\angle DMO=r\tg\beta=R\sin\alpha\tg\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)\tg\beta.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DO=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AB^{2}\sin\alpha\cdot DO=
=\frac{1}{6}\cdot\left(2R\cos\frac{\alpha}{2}\right)^{2}\sin\alpha\cdot R\sin\alpha\cdot\tg\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)\tg\beta=
=\frac{2}{3}R^{3}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\sin^{2}\alpha\tg\beta\tg\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)=
=\frac{2}{3}R^{3}\tg\beta\sin^{2}\alpha\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{\sin(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2})}{1+\cos(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2})}=\frac{2R^{3}\tg\beta\sin^{2}\alpha\cos^{3}\frac{\alpha}{2}}{3\left(1+\sin\frac{\alpha}{2}\right)}.
Источник: Васильев Н. Б. и др. Математические соревнования. Геометрия. — М.: Наука, 1974. — № 73, с. 206
Источник: Вступительный экзамен на физико-химический факультет МИСиС. — 1979