7939. В треугольной пирамиде ABCD
найдите угол между прямыми AD
и BC
, если AB=AC
и \angle DAB=\angle DAC
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Пусть DO
— высота пирамиды, точки M
и N
— основания перпендикуляров, опущенных из точки O
на прямые AB
и AC
соответственно. По теореме о трёх перпендикулярах DM\perp AB
и DN\perp AC
. Прямоугольные треугольники DAM
и DAN
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому OM=ON
, т. е. точка O
равноудалена от сторон угла CAB
. Значит, точка O
лежит на биссектрисе AK
равнобедренного треугольника ABC
(или на её продолжении). Так как AK\perp BC
и AK
— ортогональная проекция наклонной AD
на плоскость основания ABC
, то по теореме о трёх перпендикулярах AD\perp BC
. Следовательно, угол между прямыми AD
и BC
равен 90^{\circ}
.