7940. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат со стороной 2\sqrt{3}
. Диагональ боковой грани образует с плоскостью соседней боковой грани угол 30^{\circ}
. Найдите объём параллелепипеда.
Ответ. 72.
Решение. Пусть диагональ AB_{1}
боковой грани AA_{1}B_{1}B
прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
образует с плоскостью боковой грани BB_{1}C_{1}C
угол 30^{\circ}
. Прямая AB
перпендикулярна плоскости грани BB_{1}C_{1}C
, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым BB_{1}
и BC
этой плоскости. Поэтому BB_{1}
— ортогональная проекция наклонной AB_{1}
на плоскость грани BB_{1}C_{1}C
. Значит, AB_{1}B
— угол между прямой AB_{1}
и плоскостью грани BB_{1}C_{1}C
. По условию задачи \angle AB_{1}B=30^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника AB_{1}B
находим, что
BB_{1}=AB\ctg\angle AB_{1}B=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=6.
Следовательно,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{ABCD}\cdot BB_{1}=(2\sqrt{3})^{2}\cdot6=72.
Источник: Вступительный экзамен в МИНХиГП. — 1989