7941. Найдите объём конуса, у которого площадь боковой поверхности равна 15\sqrt[{3}]{{\pi}}
, а расстояние от центра основания до образующей равно \frac{2{,}4}{\sqrt[{3}]{{\pi}}}
.
Ответ. 12.
Решение. Пусть V
— объём данного конуса, S
— площадь его боковой поверхности (рис. 1). Рассмотрим осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник ABC
с вершиной A
(рис. 2). Пусть O
— середина основания BC
этого треугольника. Тогда O
— центр основания конуса.
Опустим перпендикуляр OM
из точки O
на сторону AB
— образующую конуса. По условию задачи
OM=\frac{2{,}4}{\sqrt[{3}]{{\pi}}},~S=\pi\cdot OB\cdot AB=15\sqrt[{3}]{{\pi}}.
Из прямоугольного треугольника AOB
находим, что
OB\cdot OA=AB\cdot OM.
Следовательно,
V=\frac{1}{3}\pi\cdot OB^{2}\cdot OA=\frac{1}{3}\pi\cdot(OB\cdot OA)\cdot OB=\frac{1}{3}\pi\cdot(AB\cdot OM)\cdot OB=
=\frac{1}{3}\pi\cdot(AB\cdot OB)\cdot OM=\frac{1}{3}\cdot(15\sqrt[{3}]{{\pi}})\cdot\frac{2{,}4}{\sqrt[{3}]{{\pi}}}=\frac{1}{3}\cdot15\cdot2{,}4=12.
Источник: Вступительный экзамен в МИНХиГП. — 1989