7942. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы, равная 6, составляет угол 30^{\circ}
с плоскостью другой боковой грани. Найдите объём призмы.
Ответ. 18\sqrt{2}
.
Решение. Пусть диагональ CB_{1}
боковой грани BB_{1}C_{1}C
правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равна 6 и образует угол 30^{\circ}
с боковой гранью AA_{1}B_{1}B
. Обозначим через a
сторону основания призмы. Опустим перпендикуляр CM
из вершины C
на сторону AB
основания ABC
. Прямая CM
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BB_{1}
и AB
плоскости грани AA_{1}B_{1}B
, поэтому CM
— перпендикуляр к этой плоскости, а MB_{1}
— ортогональная проекция наклонной CB_{1}
на эту плоскость. Значит, CB_{1}M
— угол прямой CB_{1}
с плоскостью грани AA_{1}B_{1}B
. По условию задачи \angle CB_{1}M=30^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника CB_{1}M
находим, что
MB_{1}=CB_{1}\cos30^{\circ}=3\sqrt{3},~\frac{a\sqrt{3}}{2}=CM=\frac{1}{2}CB_{1}=3,
откуда a=2\sqrt{3}
.
Из прямоугольного треугольника BMB_{1}
находим, что
BB_{1}=\sqrt{MB^{2}_{1}-MB^{2}}=\sqrt{27-3}=2\sqrt{6}.
Следовательно,
V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=S_{\triangle ABC}\cdot BB_{1}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot2\sqrt{6}=3\sqrt{3}\cdot2\sqrt{6}=18\sqrt{2}.