7943. В треугольной пирамиде SABC
известно, что AB=AC=10
, BC=16
. Высота пирамиды, опущенная из вершины S
, проходит через вершину B
и равна 4. Найдите полную поверхность пирамиды и радиус шара, вписанного в пирамиду.
Ответ. 152; \frac{24}{19}
.
Решение. Пусть Q
— площадь полной поверхности данной пирамиды, V
— её объём, r
— радиус вписанного в пирамиду шара, AK
и BM
— высоты треугольника ABC
. Тогда K
— середина основания BC
равнобедренного треугольника ABC
. Поэтому
AK=\sqrt{AB^{2}-BK^{2}}=\sqrt{100-64}=6,
BM=\frac{BC\cdot AK}{AC}=\frac{16\cdot6}{10}=\frac{48}{5}.
Так как SB
— перпендикуляр к плоскости основания ABC
, то BM
— ортогональная проекция наклонной SM
на плоскость основания ABC
, а так как BM\perp AC
, то по теореме о трёх перпендикулярах SM\perp AC
, т. е. SM
— высота треугольника ASC
. Из прямоугольного треугольника SBM
находим, что
SM=\sqrt{BS^{2}+BM^{2}}=\sqrt{4^{2}+\left(\frac{48}{5}\right)^{2}}=4\sqrt{1+\frac{144}{25}}=4\cdot\frac{13}{5}=\frac{52}{5}.
Следовательно,
Q=S_{\triangle SBC}+S_{\triangle SAB}+S_{\triangle SAC}+S_{\triangle ABC}=
=\frac{1}{2}BC\cdot SB+\frac{1}{2}AB\cdot SB+\frac{1}{2}AC\cdot SM+\frac{1}{2}BC\cdot AK=
=\frac{1}{2}\cdot16\cdot4+\frac{1}{2}\cdot10\cdot4+\frac{1}{2}\cdot10\cdot\frac{52}{5}+\frac{1}{2}\cdot16\cdot6=32+20+52+48=152,
Из равенства V=\frac{1}{3}Q\cdot r=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SB
следует, что
r=\frac{3V}{Q}=\frac{3\cdot64}{152}=\frac{24}{19}.
Источник: Вступительный экзамен в МИЭМ. — 1996, № 4