7944. Найдите наибольший возможный объём цилиндра, вписанного в конус, высота которого равна 27 и радиус основания равен 9.
Ответ. 324\pi
.
Решение. Обозначим через h
и r
высоту и радиус основания цилиндра, вписанного в данный конус с вершиной A
(рис. 1). Рассмотрим осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник ABC
с высотой AO=27
и основанием BC=2\cdot9=18
(рис. 2). Плоскость ABC
пересекает цилиндр, вписанный в конус, по его осевому сечению — прямоугольнику KLMN
, где точки K
и L
лежат соответственно на отрезках AB
и AC
, а точки M
и N
— на отрезке BC
, причём KL=2r
, KN=LM=h
. Пусть P
— точка пересечения AO
и KL
. Треугольник APL
подобен треугольнику AOC
, поэтому
\frac{AP}{AO}=\frac{PL}{OC},~\mbox{или}~\frac{27-h}{27}=\frac{r}{9},
откуда r=\frac{27-h}{3}
.
Первый способ. Пусть V(h)
— объём цилиндра, где 0\lt h\lt27
. Тогда
V(h)=\pi r^{2}h=\pi\left(\frac{27-h}{3}\right)^{2}h=\frac{\pi}{9}\cdot(27-h)^{2}h.
Найдём наибольшее значение функции V(h)
на промежутке (0;27)
:
V'(h)=\frac{\pi}{9}\cdot(-2(27-h)h+(27-h)^{2})=\frac{\pi}{9}\cdot(27-h)(-2h+27-h)=
=\frac{\pi}{9}\cdot(27-h)(27-3h)=0.
Промежутку (0;27)
принадлежит единственный корень (h=9
) полученного уравнения. Если 0\lt h\lt9
, то V'(h)\gt0
. Поэтому на промежутке (0;9)
функция V(h)
возрастает. Если 9\lt h\lt27
, то V'(h)\lt0
. Поэтому на промежутке (9;27)
функция V(h)
убывает. Следовательно, в точке h=9
функция V(h)
имеет максимум, причём
V_{\max}=V(9)=18^{2}\pi=324\pi.
Второй способ. Пусть V(h)
— объём цилиндра, где 0\lt h\lt27
. Тогда
V(h)=\pi r^{2}h=\frac{\pi}{9}\cdot(27-h)^{2}h=\frac{4\pi}{9}\cdot\left(\frac{27}{2}-\frac{h}{2}\right)^{2}h\leqslant
\leqslant\frac{4\pi}{9}\left(\frac{\frac{27}{2}-\frac{h}{2}+\frac{27}{2}-\frac{h}{2}+h}{3}\right)^{3}=\frac{4\pi}{9}\cdot9^{3}=4\pi\cdot81=324\pi,
причём равенство достигается в случае, когда \frac{27}{2}-\frac{h}{2}=h
, т. е. при h=9
.