7946. Докажите неравенство Коши—Буняковского для чисел a_{1}
, a_{2}
, a_{3}
, b_{1}
, b_{2}
, b_{3}
:
(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})^{2}\leqslant(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}).
Решение. Рассмотрим ненулевые векторы \overrightarrow{a}=(a_{1};a_{2};a_{3})
и \overrightarrow{b}=(b_{1};b_{2};b_{3})
в пространстве. Пусть угол между ними равен \varphi
. Тогда
a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\cos\varphi=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\cdot\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}\cdot\cos\varphi,
откуда
\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\cdot\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}=\cos\varphi\leqslant1
Следовательно,
(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})^{2}\leqslant(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}).
Что и требовалось доказать.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда |\cos\varphi|=1
, т. е. тогда и только тогда, когда векторы \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
коллинеарны, а это равносильно пропорциональности их координат.
Примечание. Неравенство Коши—Буняковского верно для любых наборов чисел a_{1},a_{2},\dots,a_{n}
и b_{1},b_{2},\dots,b_{n}
, т. е.
(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\dots+a_{n}b_{n})^{2}\leqslant(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\dots+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\dots+b_{n}^{2}).