7947. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45^{\circ}
. Найдите сторону основания, если объём пирамиды равен 18.
Ответ. 6.
Решение. Пусть a
— сторона основания данной правильной треугольной пирамиды, h
— высота пирамиды, V
— объём, S
— площадь основания. Тогда
h=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\tg45^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{3},~S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4},
18=V=\frac{1}{3}S\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a^{3}}{12}.
Откуда находим, что
a^{3}=12\cdot18=8\cdot27.
Следовательно, a=6
.
Источник: Вступительный экзамен на химический факультет МГПИ (МГПУ). — 1996, № 5