7948. В правильной треугольной призме ABCA_{1}B_{1}C_{1}
проведено сечение плоскостью, проходящей через середину M
ребра AB
, точку B_{1}
и точку K
, лежащую на ребре AC
и делящую его в отношении AK:KC=1:3
. Найдите площадь сечения, если известно, что сторона основания призмы равна a
, а высота призмы равна 2a
.
Ответ. \frac{a^{2}\sqrt{195}}{32}
.
Решение. Проведём высоту BP
равностороннего треугольника ABC
. Так как P
— середина AC
, а K
— середина AP
, то MK
— средняя линия прямоугольного треугольника ABP
. Поэтому
MK=\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}.
Секущая плоскость пересекает плоскости оснований призмы по параллельным прямым. Если N
— точка пересечения секущей плоскости с прямой A_{1}C_{1}
, то B_{1}N\parallel MK
. Поэтому B_{1}N\parallel BP
. Значит, B_{1}N
— высота равностороннего треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
и B_{1}N=\frac{a\sqrt{3}}{2}
. Кроме того, прямая B_{1}N
перпендикулярна двум пересекающимся прямым A_{1}C_{1}
и AA_{1}
плоскости грани AA_{1}C_{1}C
. Поэтому B_{1}N
— перпендикуляр к этой плоскости. Значит, B_{1}N\perp NK
. Таким образом, сечение MB_{1}NK
— прямоугольная трапеция. Высоту NK
этой трапеции найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника NPK
:
NK=\sqrt{NP^{2}+PK^{2}}=\sqrt{4a^{2}+\left(\frac{a}{4}\right)^{2}}=\frac{a\sqrt{65}}{4}.
Следовательно,
S_{MB_{1}NK}=\frac{1}{2}(B_{1}N+MK)\cdot NK=\frac{1}{2}\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}+\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)\cdot\frac{a\sqrt{65}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{195}}{32}.