7949. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, боковые рёбра которой, наклонены к плоскости основания под углом \alpha
и удалены от середины противоположной стороны основания на расстояние l
.
Ответ. \frac{2l^{3}\sqrt{3}\tg\alpha}{27\sin^{3}\alpha}
.
Решение. Пусть M
— середина стороны AB
основания ABC
правильной треугольной пирамиды PABC
, MK
— перпендикуляр, опущенный из точки M
на прямую CP
, O
— центр основания ABC
. Обозначим AB=AC=BC=a
. По условию задачи MK=l
, \angle MCP=\alpha
.
Из прямоугольного треугольника MKC
находим, что
MC=\frac{MK}{\sin\angle MCK},~\mbox{или}~\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{l}{\sin\alpha},
откуда a=\frac{2l\sqrt{3}}{3\sin\alpha}
.
Из прямоугольного треугольника POC
находим, что
PO=OC\tg\angle OCP=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\tg\alpha.
Следовательно,
V_{PABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot PO=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\tg\alpha=
=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{3}}{4}\cdot\tg\alpha=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}\left(\frac{2l\sqrt{3}}{3\sin\alpha}\right)^{3}\cdot\tg\alpha=\frac{2l^{3}\sqrt{3}\tg\alpha}{27\sin^{3}\alpha}.