7953. Найдите боковую поверхность правильной треугольной пирамиды, если её высота равна 4, а апофема равна 8.
Ответ. 288.
Решение. Пусть M
— центр основания ABC
правильной треугольной треугольной пирамиды ABCD
, K
— середина BC
. Тогда DM
— высота пирамиды, DK
— апофема пирамиды, AK
— высота равностороннего треугольника ABC
, причём AK
проходит через точку M
. Обозначим AB=BC=AC=a
. Тогда
AK=\frac{a\sqrt{3}}{2},~KM=\frac{1}{3}AK=\frac{a\sqrt{3}}{6}.
С другой стороны, из прямоугольного треугольника DKM
находим, что
KM=\sqrt{DK^{2}-DM^{2}}=\sqrt{64-16}=4\sqrt{3}.
Из равенства \frac{a\sqrt{3}}{6}=4\sqrt{3}
находим, что a=24
.
Если S
— площадь боковой поверхности пирамиды, то
S=3S_{\triangle BDC}=3\cdot\frac{1}{2}AB\cdot DK=3\cdot\frac{1}{2}a\cdot DK=3\cdot\frac{1}{2}\cdot24\cdot8=288.