7955. Найдите радиус основания цилиндра наибольшего объёма, вписанного в конус, радиус основания которого равен 3.
Ответ. 2.
Решение. Обозначим через h
и r
высоту и радиус основания цилиндра, вписанного в конус с вершиной A
(рис. 1). Рассмотрим осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник ABC
с высотой AO=H
и основанием BC=2\cdot3=6
(рис. 2). Плоскость ABC
пересекает цилиндр, вписанный в конус, по его осевому сечению — прямоугольнику KLMN
, где точки K
и L
лежат соответственно на отрезках AB
и AC
, а точки M
и N
— на отрезке BC
, причём KL=2r
, KN=LM=h
.
Пусть P
— точка пересечения AO
и KL
. Треугольник APL
подобен треугольнику AOC
, поэтому
\frac{AP}{AO}=\frac{PL}{OC},~\mbox{или}~\frac{H-h}{H}=\frac{r}{3},
откуда h=H\left(1-\frac{r}{3}\right)
.
Пусть V(r)
— объём цилиндра, где 0\lt r\lt3
. Тогда
V(r)=\pi r^{2}h=\pi Hr^{2}\left(1-\frac{r}{3}\right)=\pi H\left(r^{2}-\frac{r^{3}}{3}\right).
Найдём наибольшее значение функции V(r)
на промежутке (0;3)
.
V'(r)=\pi H(2r-r^{2})=\pi Hr(2-r).
Промежутку (0;3)
принадлежит единственный корень (r=2
) полученного уравнения. Если 0\lt r\lt2
, то V'(r)\gt0
. Поэтому на промежутке (0;2)
функция V(r)
возрастает. Если 2\lt r\lt3
, то V'(r)\lt0
. Поэтому на промежутке (2;3)
функция V(r)
убывает. Значит, в точке r=2
функция V(r)
имеет максимум. Следовательно, радиус основания цилиндра наибольшего объёма, вписанного в данный конус, равен 2.