7956. Из куска металла, имеющего форму треугольной пирамиды, боковые грани которой образуют равные двугранные углы с плоскостью основания, а высота проходит внутри пирамиды, выточен конус максимального объёма с той же вершиной. Найдите объём сточенного металла, если стороны основания пирамиды равны 13, 14 и 15, а высота равна 24.
Ответ. 32(21-4\pi)
.
Решение. Так как боковые грани данной пирамиды с вершиной D
образуют равные двугранные углы с плоскостью основания, а высота DO
проходит внутри пирамиды, то точка O
— центр окружности, вписанной в треугольник основания. Ясно, что окружность основания конуса наибольшего объёма с вершиной D
, расположенного внутри пирамиды, — это окружность, вписанная в треугольник ABC
основания. Пусть r
— радиус этой окружности, p
— полупериметр треугольника, S
— его площадь, V_{1}
— объём конуса, V
— объём пирамиды. Тогда
p=\frac{13+14+15}{2}=21,
S=\sqrt{p(p-13)(p-14)(p-15)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=7\cdot3\cdot4=84,
r=\frac{S}{p}=\frac{84}{21}=4,~V=\frac{1}{3}S\cdot OD=\frac{1}{3}\cdot84\cdot24=84\cdot8=672,
V_{1}=\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot OD=\frac{1}{3}\cdot16\cdot24\pi=16\cdot8\pi=128\pi.
Следовательно,
V-V_{1}=672-128\pi=32(21-4\pi).