7957. Правильная треугольная пирамида рассечена плоскостью, перпендикулярной основанию и делящей две стороны основания пополам. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если известно, что сторона основания равна 2, а высота пирамиды равна 4.
Ответ. 1{,}5
.
Решение. Пусть указанная плоскость проходит через середины M
и N
сторон AB
и AC
основания ABC
правильной треугольной пирамиды DABC
и пересекает боковое ребро AD
в точке P
, а медиану AF
равностороннего треугольника ABC
— в точке K
. Плоскость треугольника ADF
проходит через перпендикуляр DO
(высоту пирамиды) к плоскости основания ABC
. Поэтому плоскость ADF
перпендикулярна плоскости основания пирамиды. Секущая плоскость также перпендикулярна плоскости основания пирамиды (по условию) и пересекается с плоскостью ADF
по прямой PK
. Значит, прямая PK
перпендикулярна плоскости основания пирамиды и KP\parallel DO
. Далее имеем:
AK=\frac{1}{2}AF,~AO=\frac{2}{3}AF,~\frac{AK}{AO}=\frac{\frac{1}{2}AF}{\frac{2}{3}AF}=\frac{3}{4},
KP=\frac{OD\cdot AK}{AO}=\frac{4\cdot3}{4}=3,~MN=\frac{1}{2}BC=1,
а так как KP
— высота треугольника MPN
, то
S_{\triangle MPN}=\frac{1}{2}MN\cdot KP=\frac{1}{2}\cdot1\cdot3=\frac{3}{2}.