7961. Ребро правильного тетраэдра равно 4\sqrt{6}
. Найдите радиус шара, касающегося боковых граней тетраэдра в точках, лежащих на сторонах основания.
Ответ. 3.
Решение. Пусть сфера с центром O
касается плоскостей граней ABD
, BCD
и ACD
данного правильного тетраэдра ABCD
соответственно в точках N
, M
и K
, лежащих на сторонах AB
, BC
и AC
основания ABC
. Тогда сечение сферы плоскостью основания ABC
есть окружность, вписанная в равносторонний треугольник ABC
. Поэтому точки N
, M
и K
— середины сторон основания тетраэдра ABCD
. Радиусы ON
, OM
и OK
сферы перпендикулярны плоскостям граней ABD
, BCD
и ACD
соответственно и проходят через середины отрезков AB
, BC
и AC
. Значит, точка O
равноудалена от точек A
, B
и C
. Поэтому точка O
лежит на прямой DQ
, где Q
— центр правильного треугольника ABC
.
Обозначим \angle MDO=\varphi
, AB=AD=a
. Тогда
DM=AM=\frac{a\sqrt{3}}{2},~QM=\frac{1}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{6},~\sin\varphi=\frac{QM}{DM}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3},
\cos\varphi=\sqrt{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3},~\tg\varphi=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.
Следовательно,
OM=DM\tg\angle MDO=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\tg\varphi=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{8}=4\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{6}}{8}=3.
Источник: Вступительный экзамен в МЭСИ. — вариант 17, № 10