7962. Докажите, что из всех параллелепипедов с заданными длинами трёх рёбер с общей вершиной наибольший объём имеет прямоугольный параллелепипед.
Решение. Пусть рёбра AB
, AC
и AA_{1}
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с объёмом V
равны a
, b
и c
соответственно, высота параллелепипеда, опущенная на основание ABCD
, равна h
, угол между рёбрами AB
и AC
равен \alpha
, а угол ребра AA_{1}
с основанием ABCD
равен \varphi
. Тогда
V=S_{ABCD}\cdot h=ab\sin\alpha\cdot c\sin\varphi\leqslant ab\cdot1\cdot c\cdot1=abc,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда
\alpha=\varphi=90^{\circ},
т. е. тогда и только тогда, когда параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
прямоугольный. Что и требовалось доказать.
Наибольший объём параллелепипеда равен abc
.
Примечание. Поскольку объём прямоугольного тетраэдра равен шестой части прямоугольного параллелепипеда, трёхгранный угол при вершине которого совпадает с трёхгранным углом при вершине тетраэдра, то из всех тетраэдров с заданными длинами трёх рёбер с общей вершиной наибольший объём имеет прямоугольный тетраэдр.
Наибольший объём параллелепипеда равен \frac{1}{6}abc
.