7963. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с основаниями ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Точка M
— середина ребра AB
, K
— середина ребра CD
. Найдите радиус сферы, проходящей через точки M
, K
, A_{1}
, C_{1}
, если ребро куба равно \sqrt{41}
.
Ответ. \frac{41}{8}
.
Решение. Обозначим через a
ребро куба. Центр O
сферы, проходящей через точки M
, K
, A_{1}
и C_{1}
, равноудалён от точек A_{1}
и C_{1}
, поэтому точка O
лежит в плоскости \alpha
, перпендикулярной отрезку A_{1}C_{1}
и проходящей через его середину, т. е. в плоскости BDD_{1}B_{1}
. Точка O
равноудалена от точек M
и K
, поэтому она лежит в плоскости \beta
, перпендикулярной отрезку MK
и проходящей через его середину. Плоскости \alpha
и \beta
пересекаются по прямой PQ
, где P
и Q
— центры квадратов ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно.
Обозначим OQ=x
, OM=OK=OA_{1}=OC_{1}=R
. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников OPM
и OQA_{1}
находим, что
R^{2}=OA^{2}_{1}=OQ^{2}+QA^{2}_{1}=x^{2}+\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}=x^{2}+\frac{a^{2}}{2},
R^{2}=OM^{2}=OP^{2}+PM^{2}=(a-x)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=(a-x)^{2}+\frac{a^{2}}{4}.
Из уравнения
x^{2}+\frac{a^{2}}{2}=(a-x)^{2}+\frac{a^{2}}{4}
находим, что x=\frac{3}{8}a
. Следовательно,
R=\sqrt{x^{2}+\frac{a^{2}}{2}}=\sqrt{\frac{9a^{2}}{64}+\frac{a^{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{41}}{8}.
Если a=\sqrt{41}
, то
R=\sqrt{41}\cdot\frac{\sqrt{41}}{8}=\frac{41}{8}.