7964. Ромб, меньшая диагональ которого равна его стороне, равной 1, вращается около прямой, проходящей через конец большей диагонали перпендикулярно этой диагонали. Найдите объём полученного тела вращения.
Ответ. \frac{3\pi}{2}
.
Решение. Пусть прямая l
проходит через вершину D
ромба ABCD
перпендикулярно большей диагонали BD
. Продолжим BA
и BC
ромба до пересечения с прямой l
в точках P
и Q
соответственно. Пусть M
и N
— основания перпендикуляров, опущенных соответственно из точек A
и C
на прямую l
. Поскольку меньшая диагональ ромба равна его стороне, ромб разбивается меньшей диагональю на два равносторонних треугольника со стороной 1. При этом AM
и CN
— высоты равносторонних треугольников APD
и CQD
.
Пусть V_{1}
— объём тела, полученного вращением равностороннего треугольника PBQ
относительно прямой l
. Тогда V_{1}
равно удвоенному объёму конуса с высотой DP
и радиусом основания DB
, т. е.
V_{1}=2\cdot\frac{1}{3}\pi\cdot BD^{2}\cdot DP=2\cdot\frac{1}{3}\pi\cdot(\sqrt{3})^{2}\cdot1=2\pi.
Пусть V_{2}
— объём каждого из четырёх равных конусов, полученных вращением относительно прямой l
прямоугольных треугольников APM
, ADM
, CQN
и CDN
. Тогда
V_{2}=\frac{1}{3}\pi\cdot AM^{2}\cdot PM=\frac{1}{3}\pi\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\pi}{8}.
Если V
— объём искомого тела вращения, то
V=V_{1}-4V_{2}=2\pi-\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}.